조율과 연주에 관한 화성이론. (4) 피타고라스 음계 번외편

사실 피타고라스 음계는 화성학과는 크게 관련이 있지 않습니다.
단지 피타고라스의 발견의 중요성은 배음현상의 발견으로 이어져서 화성을 만드는데 시발점이 되었다는 것에 있고
그가 만든 음계는 화성학적으로 어울린다기보다는 음간의 간격이 수학적으로 완벽하게 맞아 떨어진다는 데에 있습니다.

피타고라스의 망치는 음악을 관심있게 공부해본 분이라면 모두 알고 계실 것입니다.
2:3의 비율이 완벽하게 어울린다는 것을 알아냈지요.
음계로 표기하면 도와 솔에 관계입니다.
이 것을 가지고 피타고라스는 음계를 만듭니다.
제가 다니던 학교에서 청음교수님이 말씀하시길 (개인적인 의견이겠지만)
세상에서 가장 아름다운 음계는 피타고라스 음계라고 했지요.
그 이유는 음간의 간격이 정확하게 일치한다는 데에서 있습니다.
여기서 잠깐 피타고라스 음계를 설명해보도록 하겠습니다.

피타고라스는 2:3의 음정관계가 정확하게 어울린다는 것을 알아내었다고 앞서 말씀드렸습니다.
그 전에 아마 1:2의 음정관계도 완벽하게 어울린다는 것을 알고 있었을 거라고 생각합니다.
이 두가지를 이용해서 피타고라스는 음계를 만듭니다.
사실 음계라는 것은 한 옥타브를 어떻게 쪼개느냐로 만들어 지는 것입니다.
피타고라스는 세상에서 유일하게 2:3의 비율이 완벽하게 어울린다는 것을 알아낸 사람이었죠.
그는 2:3의 비율로 옥타브를 이렇게 쪼개었습니다.


사진이 좀 보기 안좋게 나왔는데 양해부탁드립니다.

1번
옥타브는 1:2 비율인 것을 알고 있으니 낮은음으로부터 옥타브 사이에 있는 2:3 비율을 구했습니다.
그렇게 솔을 구했군요.

2번
높은 음으로부터 1번과 같이 2:3비율을 적용하여 파를 알아냅니다. 두번째 음이지요

3번
솔에서 다시한번 2:3비율로 높은 음을 하나 더 찾아냅니다. 그렇게 레를 구합니다.

4번
그렇게 구한 레를 한옥타브 내립니다. 그러면 옥타브사이에 있는 음으로 배열이 되겠지요

5번
레에서 다시 2:3 비율로 음을 올려서 솔과 도 사이에 있는 음을 구합니다. 현대 음열에선 라로 해당됩니다.

6번
라에서 다시 한번 2:3 비율로 음을 올립니다. 그러면 옥타브 위에 있는 음이 하나가 더 나오네요

7번
옥타브 위에 있는 가장 높은 음을 한옥타브 내립니다. 그렇게 레와 파 사이에 한 음을 더 찾아냈군요. 미가 됩니다.

8번
미에서 다시 2:3 비율로 음을 높입니다. 그럼 라와 도 사이에 시를 구할 수 있습니다.

이렇게 한 옥타브안에 8음을 모두 구했습니다.
이렇게 피타고라스는 음계를 만들었고 그 음계는 음간이 완벽하게 같은 간격을 갖는 음계를 만들어냅니다.
비율을 계산해보면 도-레, 레-미 그리고 파-솔, 솔-라, 라-시가 모두 같은 간격으로 이루어지는 것을 알게됩니다.
쉽게 계산을 해드릴면 이렇게 됩니다.
가장 낮은 도가 주파수 100이라고 가정을 해봅니다.
그러면 한옥타브 높은 도는 200이 되겠군요.

1번에서는
낮은음 도에서 2:3의 비율을 찾아내 솔인 150을 찾아냅니다.

2번에서는
높은음 도에서 2:3 비율로 낮춰서 파인 200/3을 찾아냅니다. 133.333333...이 되겠네요.

3번에서는
솔인 150에서 2:3으로 한번 더 올려서 레를 찾아냅니다. 수치상으론 225가 됩니다.

4번에서는
225인 레를 한옥타브 내려서 225/2로 만듭니다. 112.5가 되겠네요.

5번에서는
112.5인 레를 2:3으로 한번 올려줍니다. 그러면 168.75가 나옵니다.

6번에서는
168.75인 라에서 2:3으로 또 올려줘서 미인 253.125를 만들어냅니다.

7번에서는
253.125인 미를 한옥타브 내려서 126.5625로 만듭니다.

8번에서는
미에서 2:3으로 한번 더 올린 189.84375인 시를 찾아냅니다.

이렇게 도레미파솔라시도를 모두 만들어내었습니다.
그러면 비율이 어떻게 맞는지 확인해봅니다.
도는 100
레는 112.5
미는 126,5625
파는 133.33333333333... 즉 200/3
솔은 150
라는 168.75
시는 189.84375
도는 200이 됩니다.

여기서

도-레의 관계는 8:9
레-미의 관계 또한 8:9가 됩니다.
파-솔과의 관계도 8:9
솔-라의 관계도 8:9
라-시의 관계도 8:9가 됩니다.

이렇게 피타고라스는 자신만의 정확한 비율을 자랑하는 음계를 만들어냅니다.
도레미파가 한 묶음
솔라시도가 다른 한 묶음으로
정확하게 균등한 모양을 갖춘 4음을 엮어서 옥타브를 아주 멋지게 쪼개냅니다.
이 것이 피타고라스 음계입니다.

피타고라스의 업적은 음계를 만드는 데에서만 그치지 않습니다.
사실 이 옥타브만이 아닌 다른 비율도 완벽하게 어울린다는 것을 알아낸 서양 사람들은
화음이라는 음악에서 표현될 수 있는 엄청난 가능성을 알아내게 됩니다.
이 발견으로 인해 서양음악은 화성음악으로 발전할 수 있었고
동양음악은 단선율음악으로 남아있게 됩니다.